petite énigme...

[sclabet]

Faut tout lire. 9+1 n'est pas possible, car 1 n'est pas entre 2 et 100. (je pense que c'est pas 200, mais 100 la limite)
La réponse 1;4 est donc, logique, erronée, car elle n'est pas dans l'intervalle des solutions fixées.

oups Je sais lire effectivement... du coup l'erreur repérée n'en était peut être pas une... je verrai ça demain la dodo..., et ma démo n'a plus de sens car j'ai pas pris en compte les premiers cas... Rhooo pas sérieux ça...

j'ai un doute sur "Si le nombre de Stéphane est supérieur ou égal à 6, il a trois manières de se former… même en éliminant tous les ensembles du type {1 ;n} il en reste toujours au minimum deux…"... Est-on sûr qu'il n'est pas possible d'éliminer des couples autres que {1;n}?

oui c'est sûr qu'il n'existe pas de manière d'éliminer les autres couples, pour que l'on puisse éliminer un {a,b} avec a,b différent de 1 donc ça veut dire qu'on a éliminé le produit ab, particulièrement on a éliminé {1,ab} donc à un rang avant on avait éliminé la somme ab+1, ce qui représente énormément d'ensembles à éliminer ce ce qui représentera encore plus de produit, etc... on va rapidement éliminer tous les ensembles "grand", ce qui n'a pas de sens car on peut remonter dans ce cas et éliminer tout le monde (ce ne sont que les idées mais la démo est vraiment trop longue...)

[Xenos]

Donc la démo n'est pas "simple". Ce que je suspectais, c'était qu'une démo simple passe sous silence des morceaux qui seraient capables de détruire cette démo. Comme la démo est, en pratique, pas "simple", alors, ok, le raisonnement me va.
Je me suis laissé avoir par "au moins 1 an", par habitude, ca s'est traduit en ">1 ou >=2", et non ">=1"...

[sclabet]

Donc la démo n'est pas "simple". Ce que je suspectais, c'était qu'une démo simple passe sous silence des morceaux qui seraient capables de détruire cette démo. Comme la démo est, en pratique, pas "simple", alors, ok, le raisonnement me va.
Je me suis laissé avoir par "au moins 1 an", par habitude, ca s'est traduit en ">1 ou >=2", et non ">=1"...

En fait si la démo est simple, on peut traiter directement l’existence et l'unicité en même temps... par soucis de clarté d'écriture, j'avais séparé les deux (à chaque étape, il suffit de prouver en écriture littérales que dans toutes les autres solutions sont au moins doubles)

Sinon je viens de lire (pas en diagonale cette fois) l'énoncé et la démo de l'autre énigme... c'est la plus belle que j'ai jamais vue :bave: (Merci Roworll)

La démo magnifique, c'est moi qui ne sait pas lire... il a supprimé pas mal de rigueur, mais c'est pour faciliter la lecture...

en revanche, il considère pas mal de truc comme triviaux, en fait ils ne le sont pas du tout...

2) Maintenant, le fait que le Logicien S réponde "je le savais" implique que la somme ne peut pas s'écrire comme somme de deux
nombres dont le produit aurait été éliminé dans l'étape précédente. Cela élimine toutes les sommes paires, et les sommes impaires qui sont égales à un nombre premier plus 2. En fin de compte, il nous reste les sommes qui sont égales à un nombre composé impair plus 2.

Cela élimine toutes les sommes paires ...
cela fait référence à http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Goldbach
propriété non démontrée... mais bon, nous on a besoin que jusqu’à 400... et la propriété à été vérifiée pour les quelques premiers millions d'entiers...

et les idées sont justes (une petite erreur quand même... sa restriction de domaine n'est pas tout à fait juste... il supprime toute les sommes à partir de 57. en fait on ne peut restreindre qu'a partir de 101... (je me suis amusé à démontrer qu'on ne pouvais pas restreindre pour les nombres avant... saut pour 51, 57, 87 et 93...)

pour ceux qui ont un doute. testez les produits pour une somme de 65. c'est long... mais vous verrez bien qu'il n'y a aucun produit correspondant qui s'écrit de manière unique... (65=2+63 (2x63=14x9), 65=3+62 (3x62=93x2), etc...) (ça se démontre en littéral sinon... mais attentions au cas particulier, d'ou les exceptions citées plus haut)

sinon le reste est correct et sauf surprise pour les entiers suivants, la réponse semble juste

elle me plait beaucoup cette énigme, je vais rédiger une démo rigoureuse, mais je ne la posterai pas... (trop longue et en plus je vais utiliser excel...) ce qui veulent l'avoir sont les bienvenus, je donnerai mon mail en MP.

[Xenos]

une petite erreur quand même... sa restriction de domaine n'est pas tout à fait juste... il supprime toute les sommes à partir de 57. en fait on ne peut restreindre qu'a partir de 101...

Elle est juste, si, car je pense que l'énoncé n'est pas "entre 2 et 200", mais "entre 2 et 100" (sinon, pourquoi aurait-il stoppé la démonstration arrivé à S=199=100+99? Il l'aurait continuée jusqu'à S=399=199+200)

[sclabet]

ça aurai été bien pratique qu'il prenne comme domaine entre 2 et 100. on aurai pu effectivement limiter à partir de 51, 53 étant exclu par une autre méthode, on serai revenu au même. mais ce n'est malheureusement pas le cas.

si tu ne me crois pas, je donne le début de la démo... (il reste encore au moins deux pages à faire, mais la suite est la même que lui)

Enigme mathématiques et logique

I. Enoncé :
Deux logiciens Seb et Pat connaissent respectivement la Somme et le Produit de deux entiers compris entre 2 et 200.
Pat: "Je ne peux pas déterminer ces nombres."
Seb: "Je le savais."
Pat: "Alors je les ai trouvés !"
Seb: "Et bien moi aussi !"

II. Résolution :
Vocabulaire et notation : On remarque que l’on demande un ensemble deux nombres (et non un couple), donc l’ordre des deux nombres n’a pas d’importance. J’appellerai ces ensembles des binômes. Quand je parlerai du produit du binôme, c’est que je considèrerai le produit des nombres qui constituent ce binôme. Idem pour la somme du binôme…On notera S le nombre connu par Seb et P le nombre connu par Pat.
Dans l’exposé, on dressera la liste (mentale au début^^) des candidats potentiels pour S et P

Citation : Deux logiciens S et P connaissent respectivement la Somme et le Produit de deux entiers compris entre 2 et 200.

Les nombres sont compris entre 2 et 200 donc le produit P est compris entre 4 et 40 000 et la somme S entre 4 et 400.

Citation : Pat: "Je ne peux pas déterminer ces nombres."

(1) Le produit P n’est pas un nombre premier :
Car sinon il s’écrirait de manière unique sous la forme p=1xp or 1 n’est pas un nombre acceptable dans la solution.

(2) Le produit P n’est pas un produit de deux nombres premiers :
Car sinon il s’écrirait de manière unique sous la forme p=nxm, dans ce cas Pat aurait pu répondre « oui je peux savoir quels sont ces nombres. »

(3) Le produit P n’est pas un cube de nombre premier : (ne va pas servir dans la démo)
Car sinon il s’écrirait de manière unique sous la forme p=nxn², dans ce cas Pat aurait pu répondre « oui je peux savoir quels sont ces nombres. »

On peut donc supprimer de l’ensemble des candidats au résultat du produit tout les nombres qui vérifient ces critères.

Remarque : on vérifiera à chaque utilisation d’un binôme que ces critères sont biens exclus, ce qui évite de rédiger des listes monstrueuses dès le début…

Citation : S: "Je le savais."

Comme S à répondu "Je le savais.", c’est qu’il est sûr que pour tout binôme dont la somme vaut le nombre connu par S, le produit de ce binôme peut s’écrire selon un autre binôme respectant le domaine de définition des binômes.

Exemple pour fixer les idées (ne sert à rien dans la démo mais permet de comprendre…) :
S = 12
12 = 2+10 (2x10=20 or 20=5x4)
12 = 3 + 9 (3x9=27 décomposition unique(3)…donc Pat aurai pu répondre « j’ai trouvé »)
On peut éliminer 12 comme résultat possible pour la somme S.

On peut donc éliminer comme candidat potentiel pour la somme S tout nombre dont au moins un binôme a pour somme S et peut dont le produit vérifie une des conditions (1) ; (2) ou (3).

En particulier : grâce à (2), on peut éliminer tous les nombres pairs comme résultats possibles pour la somme S. En effet : La conjecture de Goldbach étant vérifiée pour les 400 premiers nombres pairs on peut donc les supprimer.

Conjecture de Goldbach : Tout nombre pair supérieur à 2 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers.

Il ne reste que les nombres impairs. On peut aussi éliminer tout nombre de la forme S= p+2 ou p est un nombre premier grâce à (2) (P = 2p est une décomposition unique)

On peut éliminer toutes les sommes supérieures à 102 car dans ce cas S = 101 + n (n compris entre 2 et 99) comme S est impair, n est donc pair donc il existe a entier tel que n=2a. si a=1 alors {101 ;2} est un binôme qui s’élimine avec (2). Si a>1 alors P=101x2xa ne peut pas se décomposer un autre binôme du domaine de définition seulement {202 ;a} ou {101 x a ;2}.

On élimine aussi tout les nombres de la forme S = p+2p où p est un nombre premier supérieur à 15. En effet P = p x 2p = p² x 2, mais p² > 200 donc {p² ; 2] n’est pas un binôme du domaine de définition. On élimine ainsi 51, 57, 69, 87 et 93 (69 et 91 avait déjà étés éliminés…

Tous les candidats restants sont de «bons » candidats dans le sens ou l’on ne peut pas les éliminer. En effet, S est impair donc toutes les sommes se décomposent sous la forme S = a + b (où a est impair et où b est pair)

si b = 2a alors deux cas peuvent se présenter :
Si a est premier alors on est dans un des cas précédent qu’on a éliminé.
Si a n’est pas premier alors a = c x d (c et d différents de 1), on remarque que a < 33 car S= 3xa et S<101. Donc b<66. Comme a est impair alors c et d sont inférieurs ou égaux à 11. P = a x 2a = (c x d) x 2(c x d) = (2 x c²) x d² le binôme {2c² ;d²} est bien dans le domaine de définition.

Si b est différent de 2a, alors comme a<99 (idem juste au dessus…) b est pair, donc b = 2xc et c est différent de a. P = a x b = a x (2c) = (2a) x c {2a ;c} est un binôme de l’ensemble de définition.

Bon, au final, la liste de nos candidats pour la somme S :
{11 ;17 ;23 ;27 ;29 ;35 ;37 ;41 ;47 ;53 ;59 ;65 ;67 ;71 ;77 ;79 ;83 ;89°;95 ;97 ;101} erf c’est beaucoup…

La suite de la démo est la même. je suis en train de vérifier que la solution est unique (c'est pratiquement sûr...). Mais je pense que pour la donner aux copains, je vais modifier l'énoncé entre 2 et 100 comme tu me le conseilles

[sclabet]

bon faites gaffe, une petite erreur s'est glissée au dessus (qui veut la trouve )

Bon j’arrête de faire des maths sur un forum d'info... faut dire qu'on était parti d'une signature qui passai pas et d'une petite énigme gentillette...